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provar sec(x)(sec(x)-cos(x))=tan^2(x)

Solução

provar

sec (x) (sec (x) - cos (x)) = tan^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

sec (x) (sec (x) - cos (x)) = tan^{2} (x)

Manipular o lado direito

sec (x) (sec (x) - cos (x))

Expandir

(- cos (x) + sec (x)) sec (x) : - sec (x) cos (x) + sec^{2} (x)

(- cos (x) + sec (x)) sec (x)

= sec (x) (- cos (x) + sec (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sec (x), b = - cos (x), c = sec (x)

= sec (x) (- cos (x)) + sec (x) sec (x)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - sec (x) cos (x) + sec (x) sec (x)

sec (x) sec (x) = sec^{2} (x)

sec (x) sec (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sec (x) sec (x) = sec^{1 + 1} (x)

= sec^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= sec^{2} (x)

= - sec (x) cos (x) + sec^{2} (x)

= sec^{2} (x) - cos (x) sec (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sec^{2} (x) - cos (x) sec (x)

sec (x) cos (x) = 1

sec (x) cos (x)

Expresar com seno, cosseno

sec (x) cos (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} cos (x)

\frac{1}{cos ( x )} cos (x) = 1

\frac{1}{cos ( x )} cos (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= 1

= 1

= sec^{2} (x) - 1

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

sec^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

= tan^{2} (x)

= tan^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e \frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 (sin (x))^{3}

p ro v e \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} = tan (θ) - sec (θ)

p ro v e cot (x) \cdot sec (x) = csc (x)

p ro v e 2 - csc^{2} (θ) = 1 - cot^{2} (θ)