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人気のある三角関数 >

証明する sin^2(θ/2)=(csc(θ)-cot(θ))/(2csc(θ))

解

証明する

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

解

真

解答ステップ

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

仮定:

u = \frac{θ}{2}

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

以下を証明する

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )} :

真

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

右側を操作する

\frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

サイン, コサインで表わす

\frac{- cot ( 2 u ) + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

簡素化

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

分数を組み合わせる

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u ) \cdot 2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

乗じる

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )} : 2

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( 2 u ) \cdot 2}{sin ( 2 u )}

共通因数を約分する:

sin (2 u)

= 1 \cdot 2

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= 2

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

簡素化

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2} : sin^{2} (u)

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(2x)=(cot^2(x)-1)/(cot^2(x)+1)

p ro v e cos (2 x) = \frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x ) + 1}

証明する sin^2(x)-2cos^2(x)=3sin^2(x)-2

p ro v e sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = 3 sin^{2} (x) - 2

証明する tan(a)=tan(a)csc^2(a)+cot(-a)

p ro v e tan (a) = tan (a) csc^{2} (a) + cot (- a)

証明する 7csc^2(x)-5cot^2(x)=2csc^2(x)+5

p ro v e 7 csc^{2} (x) - 5 cot^{2} (x) = 2 csc^{2} (x) + 5

証明する 1/(csc(x)+cot(x))=csc(x)-cot(x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) + cot ( x )} = csc (x) - cot (x)