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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))=(2tan(x))/(cos(x))

Lösung

beweisen

\frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Vereinfache

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + sin (x)

oder

1 - sin (x)

auftauchen.

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Für

\frac{1}{1 + sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (x) + 1

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1}{1 - sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x) + 1

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1

- (- sin (x) + 1) : sin (x) - 1

- (- sin (x) + 1)

Setze Klammern

= - (- sin (x)) - (1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin (x) - 1

= sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Vereinfache

sin (x) - 1 + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= sin (x) + sin (x) - 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{2}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(t)cot(t)=(1-sin^2(t))/(sin(t))

p ro v e cos (t) cot (t) = \frac{1 - sin ^{2} ( t )}{sin ( t )}

beweisen cos^2(2u)-sin^2(2u)=cos(4u)

p ro v e cos^{2} (2 u) - sin^{2} (2 u) = cos (4 u)

beweisen tan(u)cot(u)-cos^2(u)=sin^2(u)

p ro v e tan (u) cot (u) - cos^{2} (u) = sin^{2} (u)

beweisen cos(2θ)=1-2sin^2(θ)

p ro v e cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

beweisen 1/(csc(x)-sin(x))=tan(x)sec(x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )} = tan (x) sec (x)