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dimostrare (sec(u)-tan(u))(csc(u)+1)=cot(u)

Soluzione

dimostrare

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)

Vero

Fasi della soluzione

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)

Manipolando il lato sinistro

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1)

Esprimere con sen e cos

(1 + csc (u)) (sec (u) - tan (u))

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (sec (u) - tan (u))

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - tan (u))

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

Semplifica

(1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )}) : \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

(1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

Unisci

1 + \frac{1}{sin ( u )} : \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

1 + \frac{1}{sin ( u )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 sin ( u )}{sin ( u )}

= \frac{1 \cdot sin ( u )}{sin ( u )} + \frac{1}{sin ( u )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (u) = sin (u)

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

Combinare le frazioni

\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} (\frac{- sin ( u ) + 1}{cos ( u )})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} \cdot \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{( 1 + sin ( u ) ) ( 1 - sin ( u ) )}{cos ( u ) sin ( u )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{( 1 + sin ( u ) ) ( 1 - sin ( u ) )}{cos ( u ) sin ( u )}

Espandi

(1 + sin (u)) (1 - sin (u)) : 1 - sin^{2} (u)

(1 + sin (u)) (1 - sin (u))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (u)

= 1^{2} - sin^{2} (u)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (u)

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

1 - sin^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

Cancella il fattore comune:

cos (u)

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (x) = cos (x - \frac{π}{2})

p ro v e \frac{1}{1 + cos ( x )} = csc^{2} (x) - csc (x) cot (x)

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

p ro v e cos (t) cot (t) = \frac{1 - sin ^{2} ( t )}{sin ( t )}

p ro v e cos^{2} (2 u) - sin^{2} (2 u) = cos (4 u)