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beweisen 1-tan^2(x)=(cos(2x))/(cos^2(x))

Lösung

beweisen

1 - tan^{2} (x) = \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - tan^{2} (x) = \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die linke Seite

1 - tan^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

1 - tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (- θ) + cos^{2} (- θ) = 1

p ro v e sin (2 x) = sin (x + x)

p ro v e 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1 = cos (4 x)

p ro v e \frac{cos ( 2 x ) - cos ( 4 x )}{sin ( 2 x ) sin ( 4 x )} = tan (x)

p ro v e \frac{tan ( x ) + cot ( x )}{csc ( x )} = sec (x)