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prouver 8cos^4(x)-8cos^2(x)+1=cos(4x)

Solution

prouver

8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1 = cos (4 x)

vrai

étapes des solutions

8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1 = cos (4 x)

En manipulant le côté droit

cos (4 x)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (4 x)

= cos (2 \cdot 2 x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 (2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - 1

Simplifier

2 (2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - 1 : 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

2 (2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - 1

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} : 4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2 cos^{2} (x), b = 1

= (2 cos^{2} (x))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (x) \cdot 1 + 1^{2}

Simplifier

(2 cos^{2} (x))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (x) \cdot 1 + 1^{2} : 4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

(2 cos^{2} (x))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (x) \cdot 1 + 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2 cos^{2} (x))^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos^{2} (x) + 1

(2 cos^{2} (x))^{2} = 4 cos^{4} (x)

(2 cos^{2} (x))^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (cos^{2} (x))^{2}

(cos^{2} (x))^{2} : cos^{4} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (x)

= 2^{2} cos^{4} (x)

2^{2} = 4

= 4 cos^{4} (x)

2 \cdot 2 cos^{2} (x) \cdot 1 = 4 cos^{2} (x)

2 \cdot 2 cos^{2} (x) \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 1 = 4

= 4 cos^{2} (x)

= 4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 2 (4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1) - 1

Développer

2 (4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1) : 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2

2 (4 cos^{4} (x) - 4 cos^{2} (x) + 1)

Distribuer des parenthèses

= 2 \cdot 4 cos^{4} (x) + 2 (- 4 cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= 2 \cdot 4 cos^{4} (x) - 2 \cdot 4 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Simplifier

2 \cdot 4 cos^{4} (x) - 2 \cdot 4 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 : 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2

2 \cdot 4 cos^{4} (x) - 2 \cdot 4 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 2 - 1

Additionner/Soustraire les nombres :

2 - 1 = 1

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

= 8 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 1

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e \frac{cos ( 2 x ) - cos ( 4 x )}{sin ( 2 x ) sin ( 4 x )} = tan (x)

p ro v e \frac{tan ( x ) + cot ( x )}{csc ( x )} = sec (x)

p ro v e tan (- x) = - tan (x)

p ro v e cot (θ) = \frac{sin ( 2 θ )}{1 - cos ( 2 θ )}

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) cos (x) = tan (x) sin (x)