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dimostrare (sec^2(x))/(2tan(x))=csc(2x)

Soluzione

dimostrare

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 tan ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Semplifica

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x ) \cdot 2}

Affinare

= \frac{cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x ) \cdot 2}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Manipolando il lato destro

csc (2 x)

Esprimere con sen e cos

csc (2 x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{sin ( 2 x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) csc (x) = tan (x) sec (x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{2}) = sin (x)

p ro v e (1 + tan^{2} (x)) cot (x) = sec (x) csc (x)

p ro v e cos (x - y) - cos (x + y) = 2 sin (x) sin (y)

p ro v e (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) = 1