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beweisen (1-tan^2(x))/(1+tan^2(x))=cos(2x)

Lösung

beweisen

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)

p ro v e cos (x) + cos (x) tan^{2} (x) = sec (x)

p ro v e tan (x) csc (x) cos (x) = 1

p ro v e cos (3 x) + cos (x) = 2 cos (2 x) cos (x)

p ro v e sin (4 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x)