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beweisen (1+sin(-x))/(1+csc(-x))=-sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + sin ( - x )}{1 + csc ( - x )} = - sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + sin ( - x )}{1 + csc ( - x )} = - sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + sin ( - x )}{1 + csc ( - x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= \frac{1 - sin ( x )}{1 + csc ( - x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

csc (- x) = - csc (x)

= \frac{1 - sin ( x )}{1 - csc ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - sin ( x )}{1 - csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ( x )}{1 - \frac{1}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 - sin ( x )}{1 - \frac{1}{s i n ( x )}} : - sin (x)

\frac{1 - sin ( x )}{1 - \frac{1}{s i n ( x )}}

Füge

1 - \frac{1}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) - 1}{sin ( x )}

1 - \frac{1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) - 1}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) - 1}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ( x )}{\frac{s i n ( x ) - 1}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x ) - 1}

sin (x) - 1 = - (- sin (x) + 1)

= \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{- ( - sin ( x ) + 1 )}

Fasse zusammen

= - \frac{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

p ro v e cos (- x) = cos (x)

p ro v e cosh^{2} (x) - sinh^{2} (x) = 1

p ro v e \frac{1 - tan ^{2} ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )} = cos (2 x)

p ro v e cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)