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beweisen cos(2x)=2cos^2(x)-1

Lösung

beweisen

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

Manipuliere die linke Seite

cos (2 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x)

Schreibe um

= cos (x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (x) cos (x) - sin (x) sin (x)

Vereinfache

cos (x) cos (x) - sin (x) sin (x) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) cos (x) - sin (x) sin (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos^{2} (x) - 1

cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - 1 - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Vereinfache

cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 2 cos^{2} (x) - 1

cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

p ro v e sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 1

p ro v e sin (x - \frac{π}{2}) = - cos (x)

p ro v e cos^{2} (y) - sin^{2} (y) = 1 - 2 sin^{2} (y)

p ro v e cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)