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7sec^3(x)+16sec^2(x)+11sec(x)+2=0

Solução

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

Solução

x = π + 2 πn

Graus

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

Usando o método de substituição

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

Sea:

sec (x) = u

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0 : u = - 1, u = - \frac{2}{7}

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

Fatorar

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 : (u + 1)^{2} (7 u + 2)

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 2, a_{n} = 7

Os divisores de

a_{0} : 1, 2,

Os divisores de

a_{n} : 1, 7

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1 , 2}{1 , 7}

- \frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u + 1

= (u + 1) \frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + 9 u + 2

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} : \frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{7 u ^{3}}{u} = 7 u^{2}

Quociente = 7 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

7 u^{2} : 7 u^{3} + 7 u^{2}

Subtrair

7 u^{3} + 7 u^{2}

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

para obter um novo resto

Resto = 9 u^{2} + 11 u + 2

Portanto

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} : \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

9 u^{2} + 11 u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{9 u ^{2}}{u} = 9 u

Quociente = 9 u

Multiplicar

u + 1

por

9 u : 9 u^{2} + 9 u

Subtrair

9 u^{2} + 9 u

9 u^{2} + 11 u + 2

para obter um novo resto

Resto = 2 u + 2

Portanto

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{2 u + 2}{u + 1} : \frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quociente = 2

Multiplicar

u + 1

por

2 : 2 u + 2

Subtrair

2 u + 2

2 u + 2

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

Fatorar

7 u^{2} + 9 u + 2 : (7 u + 2) (u + 1)

7 u^{2} + 9 u + 2

Fatorar a expressão

7 u^{2} + 9 u + 2

Definição

Fatores de

14 : 1, 2, 7, 14

14

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

14 : 2, 7

14

14

dividida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 7

2, 7

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 7

Adicione os fatores primos:

2, 7

Adicione 1 e o próprio número

14

1, 14

Divisores de

14

1, 2, 7, 14

Para cada dois fatores tais que

u * v = 14,

verifique se

u + v = 9

Verifique

u = 1, v = 14 : u * v = 14, u + v = 15 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = 7 : u * v = 14, u + v = 9 \Rightarrow

Verdadeiro

u = 2, v = 7

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

= (7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

Fatorar

u

7 u^{2} + 2 u

u (7 u + 2)

7 u^{2} + 2 u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 7 uu + 2 u

Fatorar o termo comum

u

= u (7 u + 2)

= u (7 u + 2) + (7 u + 2)

Fatorar o termo comum

7 u + 2

= (7 u + 2) (u + 1)

= (u + 1) (7 u + 2) (u + 1)

Simplificar

= (u + 1)^{2} (7 u + 2)

(u + 1)^{2} (7 u + 2) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 7 u + 2 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

7 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{7}

7 u + 2 = 0

Mova

2

para o lado direito

7 u + 2 = 0

Subtrair

2

de ambos os lados

7 u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

7 u = - 2

7 u = - 2

Dividir ambos os lados por

7

7 u = - 2

Dividir ambos os lados por

7

\frac{7 u}{7} = \frac{- 2}{7}

Simplificar

u = - \frac{2}{7}

u = - \frac{2}{7}

As soluções são

u = - 1, u = - \frac{2}{7}

Substituir na equação

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluções gerais para

sec (x) = - 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{2}{7} :

Sem solução

sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = π + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

1+sin(5x)=0

1 + sin (5 x) = 0

0= pi/2-2arctan((pi/2-2-c)/(pi/2-c))

0 = \frac{π}{2} - 2 arctan (\frac{\frac{π}{2} - 2 - c}{\frac{π}{2} - c})

2sin(2x+10)-sqrt(3)=0

2 sin (2 x + 10) - 3 = 0

cos(θ)=(13)/(sqrt(6)*\sqrt{86)}

cos (θ) = \frac{13}{6 \cdot 86}

(1+tan(x))/(1+cot(x))=2

\frac{1 + tan ( x )}{1 + cot ( x )} = 2