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Beliebt Trigonometrie >

cosh(z)=-2

Lösung

cosh (z) = - 2

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

Schritte zur Lösung

cosh (z) = - 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (z) = - 2

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2} = - 2

\frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2} = - 2

\frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2} = - 2 :

Keine Lösung für

z \in R

\frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2} = - 2

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2

Vereinfache

e^{z} + e^{- z} = - 4

Wende Exponentenregel an

e^{z} + e^{- z} = - 4

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- z} = (e^{z})^{- 1}

e^{z} + (e^{z})^{- 1} = - 4

e^{z} + (e^{z})^{- 1} = - 4

Schreibe die Gleichung um mit

e^{z} = u

u + (u)^{- 1} = - 4

Löse

u + u^{- 1} = - 4 : u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

u + u^{- 1} = - 4

Fasse zusammen

u + \frac{1}{u} = - 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

u + \frac{1}{u} = - 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu + \frac{1}{u} u = - 4 u

Vereinfache

uu + \frac{1}{u} u = - 4 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

u^{2} + 1 = - 4 u

u^{2} + 1 = - 4 u

u^{2} + 1 = - 4 u

Löse

u^{2} + 1 = - 4 u : u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

u^{2} + 1 = - 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

u^{2} + 1 = - 4 u

Füge

4 u

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} + 1 + 4 u = - 4 u + 4 u

Vereinfache

u^{2} + 1 + 4 u = 0

u^{2} + 1 + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 23

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} - 4

4^{2} = 16

= 16 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 4 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 2 + 3

\frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 + 2 3}{2}

Faktorisiere

- 4 + 23 : 2 (- 2 + 3)

- 4 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 3)

= \frac{2 ( - 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 2 + 3

u = \frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 2 - 3

\frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 - 2 3}{2}

Faktorisiere

- 4 - 23 : - 2 (2 + 3)

- 4 - 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 3)

= - \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (2 + 3)

Negiere die Vorzeichen

- (2 + 3) = - 2 - 3

= - 2 - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

Setze

u = e^{z} w i e d er e in,

löse für

z

Löse

e^{z} = - 2 + 3 :

Keine Lösung für

z \in R

e^{z} = - 2 + 3

a^{f (z)}

darf nicht null oder negativ sein

z \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

Löse

e^{z} = - 2 - 3 :

Keine Lösung für

z \in R

e^{z} = - 2 - 3

a^{f (z)}

darf nicht null oder negativ sein

z \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ/2+pi/3)=-1,0<= θ<2pi

tan (\frac{θ}{2} + \frac{π}{3}) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

-9cos^2(θ)+13=20sin(θ)

- 9 cos^{2} (θ) + 13 = 20 sin (θ)

0=sin(3θ)

0 = sin (3 θ)

cos(x)=1,0<= x<2pi

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

sin(t)= 1/3

sin (t) = \frac{1}{3}