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人気のある三角関数 >

1-tan(x)=sec(x)

解

1 - tan (x) = sec (x)

解

x = 2 πn, x = 2 π + 2 πn

+1

度

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

1 - tan (x) = sec (x)

両辺から

sec (x)

を引く

1 - tan (x) - sec (x) = 0

サイン, コサインで表わす

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

簡素化

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

分数を組み合わせる

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= 1 + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

乗算:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin (x) - 1 = 0

両辺に

sin (x)

を足す

cos (x) - 1 = sin (x)

両辺を2乗する

(cos (x) - 1)^{2} = sin^{2} (x)

両辺から

sin^{2} (x)

を引く

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

因数

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) : (cos (x) - 1 + sin (x)) (cos (x) - 1 - sin (x))

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x)

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = ((cos (x) - 1) + sin (x)) ((cos (x) - 1) - sin (x))

= ((cos (x) - 1) + sin (x)) ((cos (x) - 1) - sin (x))

改良

= (cos (x) + sin (x) - 1) (cos (x) - sin (x) - 1)

(cos (x) - 1 + sin (x)) (cos (x) - 1 - sin (x)) = 0

各部分を別個に解く

cos (x) - 1 + sin (x) = 0 or cos (x) - 1 - sin (x) = 0

cos (x) - 1 + sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}

cos (x) - 1 + sin (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

cos (x) - 1 + sin (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

書き換え

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

次の自明恒等式を使用する:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

次の自明恒等式を使用する:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

角の和の公式を使用する:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= - 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

1

を右側に移動します

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

両辺に

1

を足す

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) + 1 = 0 + 1

簡素化

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

以下で両辺を割る

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

共通因数を約分する:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

簡素化

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

共役で乗じる

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

累乗根の規則を適用する:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

以下の一般解

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

解く

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

両辺から

\frac{π}{4}

を引く

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

簡素化

x = 2 πn

解く

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4}

を右側に移動します

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

両辺から

\frac{π}{4}

を引く

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

簡素化

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

簡素化

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

類似した元を足す:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

簡素化

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

条件のようなグループ

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4}

分数を組み合わせる

- \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} : \frac{π}{2}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 3 π}{4}

類似した元を足す:

- π + 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{4}

共通因数を約分する:

2

= \frac{π}{2}

= 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}

cos (x) - 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

cos (x) - 1 - sin (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + cos (x) - sin (x)

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

= - 1 + cos (x) - cos (\frac{π}{2} - x)

和・積の公式を使用する:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 1 - 2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2})

2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2}) = 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2})

\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2} = \frac{π}{4}

\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}

x + \frac{π}{2} - x = \frac{π}{2}

x + \frac{π}{2} - x

条件のようなグループ

= x - x + \frac{π}{2}

類似した元を足す:

x - x = 0

= \frac{π}{2}

= \frac{\frac{π}{2}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{x - ( - x + \frac{π}{2} )}{2})

\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2} = \frac{4 x - π}{4}

\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2}

拡張

x - (\frac{π}{2} - x) : 2 x - \frac{π}{2}

x - (\frac{π}{2} - x)

- (\frac{π}{2} - x) : - \frac{π}{2} + x

- (\frac{π}{2} - x)

括弧を分配する

= - (\frac{π}{2}) - (- x)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{π}{2} + x

= x - \frac{π}{2} + x

簡素化

x - \frac{π}{2} + x : 2 x - \frac{π}{2}

x - \frac{π}{2} + x

条件のようなグループ

= x + x - \frac{π}{2}

類似した元を足す:

x + x = 2 x

= 2 x - \frac{π}{2}

= 2 x - \frac{π}{2}

= \frac{2 x - \frac{π}{2}}{2}

結合

2 x - \frac{π}{2} : \frac{4 x - π}{2}

2 x - \frac{π}{2}

元を分数に変換する:

2 x = \frac{2 x 2}{2}

= \frac{2 x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 x \cdot 2 - π}{2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 x - π}{2}

= \frac{\frac{4 x - π}{2}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 x - π}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 x - π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{4 x - π}{4})

簡素化

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= 2 \cdot \frac{2}{2} sin (\frac{4 x - π}{4})

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{2}

共通因数を約分する:

2

= 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

= - 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 0

1

を右側に移動します

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 0

両辺に

1

を足す

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) + 1 = 0 + 1

簡素化

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

以下で両辺を割る

- 2

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

以下で両辺を割る

- 2

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} = \frac{1}{- 2}

簡素化

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} = \frac{1}{- 2}

簡素化

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} : sin (\frac{4 x - π}{4})

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{2}

共通因数を約分する:

2

= sin (\frac{4 x - π}{4})

簡素化

\frac{1}{- 2} : - \frac{2}{2}

\frac{1}{- 2}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

有理化する

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

共役で乗じる

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

累乗根の規則を適用する:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

以下の一般解

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

解く

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

以下で両辺を乗じる:

4

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

以下で両辺を乗じる:

4

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

簡素化

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

簡素化

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} : 4 x - π

\frac{4 ( 4 x - π )}{4}

数を割る:

\frac{4}{4} = 1

= 4 x - π

簡素化

4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn : 5 π + 8 πn

4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{5 π}{4} = 5 π

4 \cdot \frac{5 π}{4}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 4}{4}

共通因数を約分する:

4

= 5 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

π

を右側に移動します

4 x - π = 5 π + 8 πn

両辺に

π

を足す

4 x - π + π = 5 π + 8 πn + π

簡素化

4 x = 6 π + 8 πn

4 x = 6 π + 8 πn

以下で両辺を割る

4

4 x = 6 π + 8 πn

以下で両辺を割る

4

\frac{4 x}{4} = \frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

簡素化

\frac{4 x}{4} = \frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

簡素化

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

数を割る:

\frac{4}{4} = 1

= x

簡素化

\frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4} : \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

キャンセル

\frac{6 π}{4} : \frac{3 π}{2}

\frac{6 π}{4}

共通因数を約分する:

2

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2} + \frac{8 πn}{4}

数を割る:

\frac{8}{4} = 2

= \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

解く

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 π + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

以下で両辺を乗じる:

4

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

以下で両辺を乗じる:

4

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

簡素化

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

簡素化

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} : 4 x - π

\frac{4 ( 4 x - π )}{4}

数を割る:

\frac{4}{4} = 1

= 4 x - π

簡素化

4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn : 7 π + 8 πn

4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{7 π}{4} = 7 π

4 \cdot \frac{7 π}{4}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 4}{4}

共通因数を約分する:

4

= 7 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

π

を右側に移動します

4 x - π = 7 π + 8 πn

両辺に

π

を足す

4 x - π + π = 7 π + 8 πn + π

簡素化

4 x = 8 π + 8 πn

4 x = 8 π + 8 πn

以下で両辺を割る

4

4 x = 8 π + 8 πn

以下で両辺を割る

4

\frac{4 x}{4} = \frac{8 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

簡素化

x = 2 π + 2 πn

x = 2 π + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

1 - tan (x) = sec (x)

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

2 πn :

真

2 πn

挿入

n = 1

2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

の挿入向け

x = 2 π 1

1 - tan (2 π 1) = sec (2 π 1)

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 πn + \frac{π}{2} :

偽

2 πn + \frac{π}{2}

挿入

n = 1

2 π 1 + \frac{π}{2}

1 - tan (x) = sec (x)

の挿入向け

x = 2 π 1 + \frac{π}{2}

1 - tan (2 π 1 + \frac{π}{2}) = sec (2 π 1 + \frac{π}{2})

改良

- \infty = \infty

\Rightarrow 偽

解答を確認する

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

真

\frac{3 π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

の挿入向け

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

1 - tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

改良

- \infty = - \infty

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π + 2 πn :

真

2 π + 2 πn

挿入

n = 1

2 π + 2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

の挿入向け

x = 2 π + 2 π 1

1 - tan (2 π + 2 π 1) = sec (2 π + 2 π 1)

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

x = 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

equationは以下で未定義のため:

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = 2 πn, x = 2 π + 2 πn

グラフ

人気の例

sec((3θ)/2)=-2,0<= θ<2pi

sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2, 0 \leq θ < 2 π

tan(x-pi/6)=sqrt(3)

tan (x - \frac{π}{6}) = 3

2sin(x)tan(x)+5=4sec(x)

2 sin (x) tan (x) + 5 = 4 sec (x)

cos^2(x)-cos(x)-2=0,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos^{4} (x) - 1 = 0