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Beliebt Trigonometrie >

1-tan(x)=sec(x)

Lösung

1 - tan (x) = sec (x)

Lösung

x = 2 πn, x = 2 π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - tan (x) = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

1 - tan (x) - sec (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Vereinfache

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= 1 + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin (x) - 1 = 0

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) - 1 = sin (x)

Quadriere beide Seiten

(cos (x) - 1)^{2} = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) : (cos (x) - 1 + sin (x)) (cos (x) - 1 - sin (x))

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = ((cos (x) - 1) + sin (x)) ((cos (x) - 1) - sin (x))

= ((cos (x) - 1) + sin (x)) ((cos (x) - 1) - sin (x))

Fasse zusammen

= (cos (x) + sin (x) - 1) (cos (x) - sin (x) - 1)

(cos (x) - 1 + sin (x)) (cos (x) - 1 - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) - 1 + sin (x) = 0 or cos (x) - 1 - sin (x) = 0

cos (x) - 1 + sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}

cos (x) - 1 + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - 1 + sin (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= - 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x = 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} : \frac{π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 3 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{2}

= 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn + \frac{π}{2}

x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}

cos (x) - 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

cos (x) - 1 - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (x) - sin (x)

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

= - 1 + cos (x) - cos (\frac{π}{2} - x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 1 - 2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2})

2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2}) = 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

2 sin (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) sin (\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2})

\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2} = \frac{π}{4}

\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}

x + \frac{π}{2} - x = \frac{π}{2}

x + \frac{π}{2} - x

Fasse gleiche Terme zusammen

= x - x + \frac{π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x - x = 0

= \frac{π}{2}

= \frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{x - ( - x + \frac{π}{2} )}{2})

\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2} = \frac{4 x - π}{4}

\frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2}

Multipliziere aus

x - (\frac{π}{2} - x) : 2 x - \frac{π}{2}

x - (\frac{π}{2} - x)

- (\frac{π}{2} - x) : - \frac{π}{2} + x

- (\frac{π}{2} - x)

Setze Klammern

= - (\frac{π}{2}) - (- x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{π}{2} + x

= x - \frac{π}{2} + x

Vereinfache

x - \frac{π}{2} + x : 2 x - \frac{π}{2}

x - \frac{π}{2} + x

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + x - \frac{π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= 2 x - \frac{π}{2}

= 2 x - \frac{π}{2}

= \frac{2 x - \frac{π}{2}}{2}

Füge

2 x - \frac{π}{2}

zusammen:

\frac{4 x - π}{2}

2 x - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 x = \frac{2 x 2}{2}

= \frac{2 x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 x \cdot 2 - π}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 x - π}{2}

= \frac{\frac{4 x - π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 x - π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 x - π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{4 x - π}{4})

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= 2 \cdot \frac{2}{2} sin (\frac{4 x - π}{4})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

= - 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4})

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 - 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 sin (\frac{4 x - π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} = \frac{1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} = \frac{1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2} : sin (\frac{4 x - π}{4})

\frac{- 2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 sin ( \frac{4 x - π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (\frac{4 x - π}{4})

Vereinfache

\frac{1}{- 2} : - \frac{2}{2}

\frac{1}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{4 x - π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x - π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} : 4 x - π

\frac{4 ( 4 x - π )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= 4 x - π

Vereinfache

4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn : 5 π + 8 πn

4 \cdot \frac{5 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{5 π}{4} = 5 π

4 \cdot \frac{5 π}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 4}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= 5 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

4 x - π = 5 π + 8 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

4 x - π = 5 π + 8 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

4 x - π + π = 5 π + 8 πn + π

Vereinfache

4 x = 6 π + 8 πn

4 x = 6 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x = 6 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} = \frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} = \frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

\frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4} : \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{6 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

Streiche

\frac{6 π}{4} : \frac{3 π}{2}

\frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2} + \frac{8 πn}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 π + 2 πn

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x - π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 x - π )}{4} : 4 x - π

\frac{4 ( 4 x - π )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= 4 x - π

Vereinfache

4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn : 7 π + 8 πn

4 \cdot \frac{7 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{7 π}{4} = 7 π

4 \cdot \frac{7 π}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 4}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= 7 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

4 x - π = 7 π + 8 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

4 x - π = 7 π + 8 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

4 x - π + π = 7 π + 8 πn + π

Vereinfache

4 x = 8 π + 8 πn

4 x = 8 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x = 8 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} = \frac{8 π}{4} + \frac{8 πn}{4}

Vereinfache

x = 2 π + 2 πn

x = 2 π + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = 2 πn + \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 - tan (x) = sec (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

1 - tan (2 π 1) = sec (2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn + \frac{π}{2} :

Falsch

2 πn + \frac{π}{2}

Setze ein

n = 1

2 π 1 + \frac{π}{2}

Setze

x = 2 π 1 + \frac{π}{2}

1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

1 - tan (2 π 1 + \frac{π}{2}) = sec (2 π 1 + \frac{π}{2})

Fasse zusammen

- \infty = \infty

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

1 - tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- \infty = - \infty

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π + 2 πn :

Wahr

2 π + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π + 2 π 1

Setze

x = 2 π + 2 π 1

1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

1 - tan (2 π + 2 π 1) = sec (2 π + 2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = 2 πn, x = 2 π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec((3θ)/2)=-2,0<= θ<2pi

sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2, 0 \leq θ < 2 π

tan(x-pi/6)=sqrt(3)

tan (x - \frac{π}{6}) = 3

2sin(x)tan(x)+5=4sec(x)

2 sin (x) tan (x) + 5 = 4 sec (x)

cos^2(x)-cos(x)-2=0,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos^4(x)-1=0

cos^{4} (x) - 1 = 0