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Beliebt Trigonometrie >

(cos^3(x))/(sin(x))=cot(x)

Lösung

\frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

Subtrahiere

cot (x)

von beiden Seiten

\frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} - cot (x) = 0

Vereinfache

\frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} - cot (x) : \frac{cos ^{3} ( x ) - cot ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} - cot (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cot (x) = \frac{cot ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{3} ( x )}{sin ( x )} - \frac{cot ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{3} ( x ) - cot ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{cos ^{3} ( x ) - cot ( x ) sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{3} (x) - cot (x) sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{3} (x) - cot (x) sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= cos^{3} (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} sin (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} sin (x) = cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= cos (x)

= cos^{3} (x) - cos (x)

- cos (x) + cos^{3} (x) = 0

Löse mit Substitution

- cos (x) + cos^{3} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- u + u^{3} = 0

- u + u^{3} = 0 : u = 0, u = - 1, u = 1

- u + u^{3} = 0

Faktorisiere

- u + u^{3} : u (u + 1) (u - 1)

- u + u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{2} - 1)

u^{3} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{2} - 1)

= u (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= u (u + 1) (u - 1)

u (u + 1) (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 1, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = - 1, cos (x) = 1

cos (x) = 0, cos (x) = - 1, cos (x) = 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

π + 2 πn, 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2x)= 3/4

tan (2 x) = \frac{3}{4}

sin(x)=1+cos(x)

sin (x) = 1 + cos (x)

sqrt(2)sin(x)=sqrt(1+(cos(2x))/(sin(x)))

2 sin (x) = 1 + \frac{cos ( 2 x )}{sin ( x )}

sin(x)=(sqrt(21))/5

sin (x) = \frac{21}{5}

tan(θ/2-pi/6)=1

tan (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = 1