English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

الحلّ

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

الحلّ

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

درجات

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

v^{3} = u^{6}

وكذلك

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

اكتب المعادلة مجددًا، بحيث أنّ

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

حلّ:

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

حلّل إلى عوامل:

v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

v

قم باخراج العامل المشترك:

v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

v

قم باخراج العامل المشترك

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{2} - 57 v + 27

حلل إلى عوامل:

(5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

قسّم التعابير لمجموعات

20 v^{2} - 57 v + 27

تعريف

Factors of

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540 = 270 \cdot 2, 2

ينقسم على

540

= 2 \cdot 270

270 = 135 \cdot 2, 2

ينقسم على

270

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135 = 45 \cdot 3, 3

ينقسم على

135

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45 = 15 \cdot 3, 3

ينقسم على

45

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15 = 5 \cdot 3, 3

ينقسم على

15

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiply the prime factors of

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Add the prime factors:

2, 3, 5

Add 1 and the number

540

itself

1, 540

540

قواسم

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Negative factors of

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

For every two factors such that

u * v = 540,

check if

u + v = - 57

Check

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

خطأCheck

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

خطأ

u = - 12, v = - 45

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

من

4 v

اخرج العامل

20 v^{2} - 12 v

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

4 \cdot 3

كـ

12

اكتب مجددًا

4 \cdot 5

كـ

20

اكتب مجددًا

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

4 v

قم باخراج العامل المشترك

= 4 v (5 v - 3)

- 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

من

- 9

اخرج العامل

- 45 v + 27

9 \cdot 3

كـ

27

اكتب مجددًا

9 \cdot 5

كـ

45

اكتب مجددًا

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

- 9

قم باخراج العامل المشترك

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

5 v - 3

قم باخراج العامل المشترك

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

5 v - 3 = 0

حلّ:

v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

انقل

3

إلى الجانب الأيمن

5 v - 3 = 0

للطرفين

3

أضف

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

بسّط

5 v = 3

5 v = 3

5

اقسم الطرفين على

5 v = 3

5

اقسم الطرفين على

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

بسّط

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

4 v - 9 = 0

حلّ:

v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

انقل

9

إلى الجانب الأيمن

4 v - 9 = 0

للطرفين

9

أضف

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

بسّط

4 v = 9

4 v = 9

4

اقسم الطرفين على

4 v = 9

4

اقسم الطرفين على

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

بسّط

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

The solutions are

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Substitute back

v = u^{2},

solve for

u

u^{2} = 0

حلّ:

u = 0

u^{2} = 0

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

فعّل القانون

u = 0

u^{2} = \frac{3}{5}

حلّ:

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

x = f (a), - f (a)

الحلول هي

x^{2} = f (a)

لـ

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{9}{4}

حلّ:

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

x = f (a), - f (a)

الحلول هي

x^{2} = f (a)

لـ

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

9 = 3^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 3^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

\frac{9}{4}

بسّط:

\frac{3}{2}

\frac{9}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

9 = 3^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 3^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

The solutions are

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

cos (x) = 0 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = \frac{3}{5} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Apply trig inverse properties

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

لا يوجد حلّ

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

لا يوجد حلّ

cos (x) = - \frac{3}{2} :

لا يوجد حلّ

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

لا يوجد حلّ

وحّد الحلول

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π