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受欢迎的三角函数 >

sin^2(θ)cos(θ)+cos^3(θ)=-1/2

解答

sin^{2} (θ) cos (θ) + cos^{3} (θ) = - \frac{1}{2}

解答

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

+1

度数

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

sin^{2} (θ) cos (θ) + cos^{3} (θ) = - \frac{1}{2}

两边减去

- \frac{1}{2}

sin^{2} (θ) cos (θ) + cos^{3} (θ) + \frac{1}{2} = 0

化简

sin^{2} (θ) cos (θ) + cos^{3} (θ) + \frac{1}{2} : \frac{2 sin ^{2} ( θ ) cos ( θ ) + 2 cos ^{3} ( θ ) + 1}{2}

sin^{2} (θ) cos (θ) + cos^{3} (θ) + \frac{1}{2}

将项转换为分式:

sin^{2} (θ) cos (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ ) 2}{2}, cos^{3} (θ) = \frac{cos ^{3} ( θ ) 2}{2}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{cos ^{3} ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ ) \cdot 2 + cos ^{3} ( θ ) \cdot 2 + 1}{2}

\frac{2 sin ^{2} ( θ ) cos ( θ ) + 2 cos ^{3} ( θ ) + 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (θ) cos (θ) + 2 cos^{3} (θ) + 1 = 0

使用三角恒等式改写

1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

化简

1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos (θ) + 1

1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

乘开

2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 cos (θ), b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 2 cos (θ) \cdot 1 - 2 cos (θ) cos^{2} (θ)

= 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

化简

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) cos (θ) : 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) = 2 cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ)

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

数字相加:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (θ)

= 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

= 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

= 1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

化简

1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ) : 2 cos (θ) + 1

1 + 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ)

对同类项分组

= 2 cos^{3} (θ) + 2 cos (θ) - 2 cos^{3} (θ) + 1

同类项相加:

2 cos^{3} (θ) - 2 cos^{3} (θ) = 0

= 2 cos (θ) + 1

= 2 cos (θ) + 1

= 2 cos (θ) + 1

1 + 2 cos (θ) = 0

将

1

到右边

1 + 2 cos (θ) = 0

两边减去

1

1 + 2 cos (θ) - 1 = 0 - 1

化简

2 cos (θ) = - 1

2 cos (θ) = - 1

两边除以

2

2 cos (θ) = - 1

两边除以

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2}

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

作图

流行的例子

2sin^2(x)+7sin(x)+3=0

2 sin^{2} (x) + 7 sin (x) + 3 = 0

2sin(3x-pi/3)=-sqrt(3)

2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = - 3

2cos(2x-pi/2)=sqrt(3)

2 cos (2 x - \frac{π}{2}) = 3

cos(2x)-2sin^2(x)=0

cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) = 0

3-2cot^2(x)=-cot^2(x)

3 - 2 cot^{2} (x) = - cot^{2} (x)