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Beliebt Trigonometrie >

csc^3(x)+csc^2(x)= 4/3 csc(x)+4/3

Lösung

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = \frac{4}{3} csc (x) + \frac{4}{3}

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = \frac{4}{3} csc (x) + \frac{4}{3}

Löse mit Substitution

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = \frac{4}{3} csc (x) + \frac{4}{3}

Angenommen:

csc (x) = u

u^{3} + u^{2} = \frac{4}{3} u + \frac{4}{3}

u^{3} + u^{2} = \frac{4}{3} u + \frac{4}{3} : u = - 1, u = - \frac{2 3}{3}, u = \frac{2 3}{3}

u^{3} + u^{2} = \frac{4}{3} u + \frac{4}{3}

Multipliziere beide Seiten mit

3

u^{3} + u^{2} = \frac{4}{3} u + \frac{4}{3}

Multipliziere beide Seiten mit

3

u^{3} \cdot 3 + u^{2} \cdot 3 = \frac{4}{3} u \cdot 3 + \frac{4}{3} \cdot 3

Vereinfache

3 u^{3} + 3 u^{2} = 4 u + 4

3 u^{3} + 3 u^{2} = 4 u + 4

Verschiebe

4

auf die linke Seite

3 u^{3} + 3 u^{2} = 4 u + 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 = 4 u + 4 - 4

Vereinfache

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 = 4 u

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 = 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 = 4 u

Subtrahiere

4 u

von beiden Seiten

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 - 4 u = 4 u - 4 u

Vereinfache

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 - 4 u = 0

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 u - 4 = 0

Faktorisiere

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 u - 4 : (u + 1) (3 u + 2) (3 u - 2)

3 u^{3} + 3 u^{2} - 4 u - 4

= (3 u^{3} + 3 u^{2}) + (- 4 u - 4)

Klammere

- 4

aus

- 4 u - 4

aus

: - 4 (u + 1)

- 4 u - 4

Klammere gleiche Terme aus

- 4

= - 4 (u + 1)

Klammere

3 u^{2}

aus

3 u^{3} + 3 u^{2}

aus

: 3 u^{2} (u + 1)

3 u^{3} + 3 u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 3 u u^{2} + 3 u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

3 u^{2}

= 3 u^{2} (u + 1)

= - 4 (u + 1) + 3 u^{2} (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (3 u^{2} - 4)

Faktorisiere

3 u^{2} - 4 : (3 u + 2) (3 u - 2)

3 u^{2} - 4

Schreibe

3 u^{2} - 4

um:

(3 u)^{2} - 2^{2}

3 u^{2} - 4

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 4

Schreibe

4

um:

2^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 2^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 2^{2}

= (3 u)^{2} - 2^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 2^{2} = (3 u + 2) (3 u - 2)

= (3 u + 2) (3 u - 2)

= (u + 1) (3 u + 2) (3 u - 2)

(u + 1) (3 u + 2) (3 u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 3 u + 2 = 0 or 3 u - 2 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

3 u + 2 = 0 : u = - \frac{2 3}{3}

3 u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

3 u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

3 u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

3 u = - 2

3 u = - 2

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 2

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 2}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{- 2}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 2}{3} : - \frac{2 3}{3}

\frac{- 2}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{3}

Rationalisiere

- \frac{2}{3} : - \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

u = - \frac{2 3}{3}

u = - \frac{2 3}{3}

u = - \frac{2 3}{3}

Löse

3 u - 2 = 0 : u = \frac{2 3}{3}

3 u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

3 u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

3 u = 2

3 u = 2

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 2

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{2}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{2}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{2}{3} : \frac{2 3}{3}

\frac{2}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = - \frac{2 3}{3}, u = \frac{2 3}{3}

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = - 1, csc (x) = - \frac{2 3}{3}, csc (x) = \frac{2 3}{3}

csc (x) = - 1, csc (x) = - \frac{2 3}{3}, csc (x) = \frac{2 3}{3}

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - 1

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - \frac{2 3}{3} : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

csc (x) = - \frac{2 3}{3}

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - \frac{2 3}{3}

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

csc (x) = \frac{2 3}{3} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

csc (x) = \frac{2 3}{3}

Allgemeine Lösung für

csc (x) = \frac{2 3}{3}

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6sec^2(x)tan(x)=12tan(x)

6 sec^{2} (x) tan (x) = 12 tan (x)

cos(θ)+cos(2θ)=0

cos (θ) + cos (2 θ) = 0

sin(2x)=2

sin (2 x) = 2

sin(2x)=sin(4x)

sin (2 x) = sin (4 x)

2tan^3(x)-2/3 tan(x)=0

2 tan^{3} (x) - \frac{2}{3} tan (x) = 0