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人気のある三角関数 >

5sin(x)=4cos(x)+4

解

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

解

x = π + 2 πn, x = 1.34948 \dots + 2 πn

+1

度

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 77.31961 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

両辺を2乗する

(5 sin (x))^{2} = (4 cos (x) + 4)^{2}

両辺から

(4 cos (x) + 4)^{2}

を引く

25 sin^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 32 cos (x) - 16 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) - 32 cos (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 32 cos (x)

簡素化

- 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 32 cos (x) : - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) + 9

- 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 32 cos (x)

拡張

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

数を乗じる:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 32 cos (x)

簡素化

- 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 32 cos (x) : - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) + 9

- 16 - 16 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 32 cos (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) - 32 cos (x) - 16 + 25

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x)

= - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) - 16 + 25

数を足す/引く:

- 16 + 25 = 9

= - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) + 9

= - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) + 9

= - 41 cos^{2} (x) - 32 cos (x) + 9

9 - 32 cos (x) - 41 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

9 - 32 cos (x) - 41 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{9}{41}

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} - 32 u + 9 = 0

解くとthe二次式

- 41 u^{2} - 32 u + 9 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 41, b = - 32, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 ( - 41 ) \cdot 9}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 ( - 41 ) \cdot 9}{2 ( - 41 )}

(- 32)^{2} - 4 (- 41) \cdot 9 = 50

(- 32)^{2} - 4 (- 41) \cdot 9

規則を適用

- (- a) = a

= (- 32)^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 32)^{2} = 3 2^{2}

= 3 2^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

数を乗じる:

4 \cdot 41 \cdot 9 = 1476

= 3 2^{2} + 1476

3 2^{2} = 1024

= 1024 + 1476

数を足す:

1024 + 1476 = 2500

= 2500

数を因数に分解する:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm 50}{2 ( - 41 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )} : - 1

\frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{32 + 50}{- 2 \cdot 41}

数を足す:

32 + 50 = 82

= \frac{82}{- 2 \cdot 41}

数を乗じる:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{82}{- 82}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{82}{82}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )} : \frac{9}{41}

\frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{32 - 50}{- 2 \cdot 41}

数を引く:

32 - 50 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 41}

数を乗じる:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 18}{- 82}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{82}

共通因数を約分する:

2

= \frac{9}{41}

二次equationの解:

u = - 1, u = \frac{9}{41}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{9}{41}

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{9}{41}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

以下の一般解

cos (x) = - 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{9}{41} : x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{9}{41}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{9}{41}

以下の一般解

cos (x) = \frac{9}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

π + 2 πn :

真

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

の挿入向け

x = π + 2 π 1

5 sin (π + 2 π 1) = 4 cos (π + 2 π 1) + 4

改良

0 = 0

\Rightarrow 真

解答を確認する

arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 sin (arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1) = 4 cos (arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1) + 4

改良

4.87804 \dots = 4.87804 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 sin (x) = 4 cos (x) + 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 sin (2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1) = 4 cos (2 π - arccos (\frac{9}{41}) + 2 π 1) + 4

改良

- 4.87804 \dots = 4.87804 \dots

\Rightarrow 偽

x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{9}{41}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = π + 2 πn, x = 1.34948 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

8tan(x)sin(x)=sin(x)

8 tan (x) sin (x) = sin (x)

sin (x) = - 0.8

4sin(x)-1=2sin(x)

4 sin (x) - 1 = 2 sin (x)

sin(θ)cos(θ)=sin(θ)

sin (θ) cos (θ) = sin (θ)

7cos(x)+4=-cos(x)

7 cos (x) + 4 = - cos (x)