extreme f(x,y)=ln(xy-x^3-y^3+x^2y^2)

解答

极值点

f (x, y) = ln (x y - x^{3} - y^{3} + x^{2} y^{2})

极大值 (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

求解步骤

找到临界点:

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{- 2 x ^{5} - 2 x ^{4} y ^{2} + 4 x ^{3} y + 4 x ^{2} y ^{3} - x ^{2} - 3 y ^{4}}{( x y - x ^{3} - y ^{3} + x ^{2} y ^{2} ) ^{2}}

D (x, y) = \frac{6 x ^{9} - 6 x ^{8} y ^{2} - 4 x ^{7} y ^{4} - 20 x ^{7} y + 4 x ^{6} y ^{6} + 28 x ^{6} y ^{3} - x ^{6} - 4 x ^{5} y ^{5} + 30 x ^{5} y ^{2} - 4 x ^{4} y ^{7} - 51 x ^{4} y ^{4} + 28 x ^{3} y ^{6} - 16 x ^{3} y ^{3} - 6 x ^{2} y ^{8} + 30 x ^{2} y ^{5} + x ^{2} y ^{2} - 20 x y ^{7} + 6 y ^{9} - y ^{6}}{( - x ^{3} - y ^{3} + x ^{2} y ^{2} + x y ) ^{4}}

检查在每个临界点处的符号

检查临界点

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) :

极大值

极大值 (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

e x t re m e f (x) = e^{x} (3 - x^{2})

e x t re m e f (x) = x^{3} - 12 x^{2}

e x t re m e f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}

e x t re m e f (x, y) = 6 x y - 2 x^{2} y - 3 x y^{2}

e x t re m e f (x) = (x^{2} - 1)^{3}, - 1 \leq x \leq 2