integral of (2x)/(2x-1)

Lösung

\int \frac{2 x}{2 x - 1} d x

x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{2 x - 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{2 x - 1} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u + 1}{4 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{u + 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u + 1}{u} : 1 + \frac{1}{u}

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int 1 + \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} (\int 1 d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= 2 \cdot \frac{1}{4} (u + ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 2 x - 1

ein

= 2 \cdot \frac{1}{4} (2 x - 1 + ln ∣ 2 x - 1 ∣)

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{4} (2 x - 1 + ln ∣ 2 x - 1 ∣) : x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣

= x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C

\int (2 x^{3} - x + 0)^{3} \cdot (6 x^{2} - 1) d x

\frac{d}{d x} (6^{x})

x \to 0 lim ((1 + x)^{\frac{1}{x}})

\frac{d}{d x} (\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 2})

d er i v a t i v e f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)