integral of (e^x)/(sqrt(1+e^x+e^{2x))}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x} + e ^{2 x}} d x

ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x} + e ^{2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{1 + u + u ^{2}} d u

Vervollständige das Quadrat

1 + u + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 v ^{2} + 3} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} + 3} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{sec ( w )}{2} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sec (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2})))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) : ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4)

= ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4) + C

\int 6 x - 7 d x

\frac{\partial}{\partial x} (- e^{- o} \cdot cos (o))

\frac{\partial}{\partial y} (ln (x - 3 y))

d er i v a t i v e - \frac{1}{9 x ^{\frac{10}{9}}}

d er i v a t i v e 3 x (x^{4} + 5)^{5}