integral of sin^3(2θ)cot(2θ)

解

\int sin^{3} (2 θ) cot (2 θ) d θ

\frac{1}{12} (sin (6 θ) - 3 sin (2 θ) cos (4 θ)) + C

解答ステップ

\int sin^{3} (2 θ) cot (2 θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} cos (2 θ) (1 - cos (4 θ)) d θ

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (2 θ) (1 - cos (4 θ)) d θ

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) (1 - cos (4 θ)) - \int 2 sin (4 θ) sin (2 θ) d θ)

\int 2 sin (4 θ) sin (2 θ) d θ = - \frac{1}{6} sin (6 θ) + \frac{1}{2} sin (2 θ)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) (1 - cos (4 θ)) - (- \frac{1}{6} sin (6 θ) + \frac{1}{2} sin (2 θ)))

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) (1 - cos (4 θ)) - (- \frac{1}{6} sin (6 θ) + \frac{1}{2} sin (2 θ))) : \frac{1}{12} (sin (6 θ) - 3 sin (2 θ) cos (4 θ))

= \frac{1}{12} (sin (6 θ) - 3 sin (2 θ) cos (4 θ))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{12} (sin (6 θ) - 3 sin (2 θ) cos (4 θ)) + C