integral of (e^x)/((e^x-5)(e^{2x)+1)}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 5 ) ( e ^{2 x} + 1 )} d x

\frac{1}{26} ln ∣ e^{x} - 5 ∣ + \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 5 arctan (e^{x})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 5 ) ( e ^{2 x} + 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u - 5 ) ( u ^{2} + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( u - 5 ) ( u ^{2} + 1 )} : \frac{1}{26 ( u - 5 )} + \frac{- u - 5}{26 ( u ^{2} + 1 )}

= \int \frac{1}{26 ( u - 5 )} + \frac{- u - 5}{26 ( u ^{2} + 1 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{26 ( u - 5 )} d u + \int \frac{- u - 5}{26 ( u ^{2} + 1 )} d u

\int \frac{1}{26 ( u - 5 )} d u = \frac{1}{26} ln ∣ u - 5 ∣

\int \frac{- u - 5}{26 ( u ^{2} + 1 )} d u = \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 - 5 arctan (u))

= \frac{1}{26} ln ∣ u - 5 ∣ + \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 - 5 arctan (u))

Setze in

u = e^{x}

ein

= \frac{1}{26} ln ∣ e^{x} - 5 ∣ + \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln (e^{x})^{2} + 1 - 5 arctan (e^{x}))

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= \frac{1}{26} ln ∣ e^{x} - 5 ∣ + \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 5 arctan (e^{x}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{26} ln ∣ e^{x} - 5 ∣ + \frac{1}{26} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 5 arctan (e^{x})) + C

\frac{\partial}{\partial y} (2 x^{2} y^{3})

\frac{d}{d x} (2 x^{4} - 2 x)

\int_{0}^{6} e^{x} sin (x) d x

\int x^{2} \cdot x d x

6 y^{^{''}} + y^{^{'}} - 2 y = 0, y (0) = 5, y^{^{'}} (0) = - 1