интеграл с 0 до pi/4 от 5cos^5(2x)

Решение

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 cos^{5} (2 x) d x

\frac{4}{3}

десятичными цифрами

1.33333 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 cos^{5} (2 x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{5} (2 x) d x

Применить подстановку интеграла

= 5 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{5} (u) \frac{1}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{5} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - sin^{2} (u))^{2} cos (u) d u

Применить подстановку интеграла

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} (1 - v^{2})^{2} d v

Расширить

(1 - v^{2})^{2} : 1 - 2 v^{2} + v^{4}

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} 1 - 2 v^{2} + v^{4} d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} (\int_{0}^{1} 1 d v - \int_{0}^{1} 2 v^{2} d v + \int_{0}^{1} v^{4} d v)

\int_{0}^{1} 1 d v = 1

\int_{0}^{1} 2 v^{2} d v = \frac{2}{3}

\int_{0}^{1} v^{4} d v = \frac{1}{5}

= 5 \cdot \frac{1}{2} (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5})

Упростите

5 \cdot \frac{1}{2} (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) : \frac{4}{3}

= \frac{4}{3}