integral of sin(x)cos(x)e^x

Lösung

\int sin (x) cos (x) e^{x} d x

- \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

Schritte zur Lösung

\int sin (x) cos (x) e^{x} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} e^{x} sin (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} sin (2 x) d x

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} cos (2 x) d x))

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Deshalb

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Isoliere

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 4})

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{d}{d x} (\frac{1 - 4 x}{6 + x})

\int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

\frac{d}{d x} (x^{2} lo g_{10} (x))