integral of 1/(3-5sin(x))

Lösung

\int \frac{1}{3 - 5 sin ( x )} d x

2 (- \frac{1}{8} ln 3 tan (\frac{x}{2}) - 1 + \frac{1}{8} ln tan (\frac{x}{2}) - 3) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{3 - 5 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{3 ( 1 + u ^{2} ) - 10 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( 1 + u ^{2} ) - 10 u} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{3 ( 1 + u ^{2} ) - 10 u} : - \frac{3}{8 ( 3 u - 1 )} + \frac{1}{8 ( u - 3 )}

= 2 \cdot \int - \frac{3}{8 ( 3 u - 1 )} + \frac{1}{8 ( u - 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{3}{8 ( 3 u - 1 )} d u + \int \frac{1}{8 ( u - 3 )} d u)

\int \frac{3}{8 ( 3 u - 1 )} d u = \frac{1}{8} ln ∣ 3 u - 1 ∣

\int \frac{1}{8 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{8} ln ∣ u - 3 ∣

= 2 (- \frac{1}{8} ln ∣ 3 u - 1 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ u - 3 ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= 2 (- \frac{1}{8} ln 3 tan (\frac{x}{2}) - 1 + \frac{1}{8} ln tan (\frac{x}{2}) - 3)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{8} ln 3 tan (\frac{x}{2}) - 1 + \frac{1}{8} ln tan (\frac{x}{2}) - 3) + C

ma c l a u r in (1 + x)^{- 1}

\int \frac{2 x}{x ^{2} - 16} + \frac{1}{x} + 2 d x

y^{^{'}} = x

\int_{0}^{1} 8 e^{- 4 x} d x

\int - \frac{y}{x} d x