integral of (1+sin(θ))^2

解

\int (1 + sin (θ))^{2} d θ

\frac{3}{2} θ - \frac{1}{4} sin (2 θ) - 2 cos (θ) + C

解答ステップ

\int (1 + sin (θ))^{2} d θ

拡張

(1 + sin (θ))^{2} : 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= \int 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) d θ

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d θ + \int 2 sin (θ) d θ + \int sin^{2} (θ) d θ

\int 1 d θ = θ

\int 2 sin (θ) d θ = - 2 cos (θ)

\int sin^{2} (θ) d θ = \frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ))

= θ - 2 cos (θ) + \frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ))

簡素化

θ - 2 cos (θ) + \frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ)) : \frac{3}{2} θ - \frac{1}{4} sin (2 θ) - 2 cos (θ)

= \frac{3}{2} θ - \frac{1}{4} sin (2 θ) - 2 cos (θ)

定数を解答に追加する

= \frac{3}{2} θ - \frac{1}{4} sin (2 θ) - 2 cos (θ) + C