integral of (x^2)/(sqrt(25-4x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{25 - 4 x ^{2}} d x

\frac{25}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{25 - 4 x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{25 sin ^{2} ( u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{25}{8} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{25}{8} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{5} x)

ein

= \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

Vereinfache

\frac{25}{8} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) : \frac{25}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

= \frac{25}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{25}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) + C

\int \frac{5 x - 4}{x ^{2} - 4 x} d x

\int 1 + 4 \cdot x^{2} d x

\int \frac{sin ( v )}{cos ^{2} ( v )} d v

\int cot^{4} (3 x) csc^{2} (3 x) d x

\int [cot (x) - csc (x)]^{2} d x