integral of sqrt(144-36x^2)

Lösung

\int 144 - 36 x^{2} d x

12 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int 144 - 36 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 24 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 24 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 24 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{6}{12} x)

ein

= 24 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{6}{12} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{6}{12} x)))

Vereinfache

24 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{6}{12} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{6}{12} x))) : 12 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2})))

= 12 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 12 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2}))) + C

\int \frac{1}{sin ^{2} ( \frac{x}{2} )} d x

\int \frac{5}{x ^{2}} sin^{2} (- \frac{5}{x}) d x

\int \frac{3 x - 5}{x ^{2} + 5} d x

\int \frac{1}{x ^{1.04}} d x

\int \frac{x ^{4} + 9 x ^{2} + 5}{x ^{5} + 15 x ^{3} + 25 x} d x