integral of (x^2+1)/((x+2)^2)

解

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} d x

x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{5}{x + 2} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} d x

拡張

\frac{x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} : \frac{x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} + \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} d x + \int \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} d x = x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{4}{x + 2}

\int \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x = - \frac{1}{x + 2}

= x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{4}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}

簡素化

x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{4}{x + 2} - \frac{1}{x + 2} : x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{5}{x + 2}

= x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{5}{x + 2}

定数を解答に追加する

= x + 2 - 4 ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{5}{x + 2} + C