integral of e^{-st}(2t-2)

解

\int e^{- s t} (2 t - 2) d t

2 (- e^{- s t} \frac{1}{s} (- 1 + t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}}) + C

解答ステップ

\int e^{- s t} (2 t - 2) d t

(- 2 + 2 t) e^{- s t} = 2 (- 1 + t) e^{- s t}

= \int 2 (- 1 + t) e^{- s t} d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int (- 1 + t) e^{- s t} d t

部分積分を適用する

= 2 (- e^{- s t} \frac{1}{s} (- 1 + t) - \int - e^{- s t} \frac{1}{s} d t)

\int - e^{- s t} \frac{1}{s} d t = e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}}

= 2 (- e^{- s t} \frac{1}{s} (- 1 + t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}})

定数を解答に追加する

= 2 (- e^{- s t} \frac{1}{s} (- 1 + t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}}) + C