integral of sin(1/5 x)sin(1/10 x)

解

\int sin (\frac{1}{5} x) sin (\frac{1}{10} x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) + 10 sin (\frac{x}{10})) + C

解答ステップ

\int sin (\frac{1}{5} x) sin (\frac{1}{10} x) d x

簡素化

sin (\frac{1}{5} x) sin (\frac{1}{10} x) : sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{x}{10})

= \int sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{x}{10}) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (\frac{3 x}{10}) + cos (\frac{x}{10})) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (\frac{3 x}{10}) + cos (\frac{x}{10}) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int cos (\frac{3 x}{10}) d x + \int cos (\frac{x}{10}) d x)

\int cos (\frac{3 x}{10}) d x = \frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10})

\int cos (\frac{x}{10}) d x = 10 sin (\frac{x}{10})

= \frac{1}{2} (- \frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) + 10 sin (\frac{x}{10}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) + 10 sin (\frac{x}{10})) + C