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Popolare Calcoli >

integral of sqrt(1+(x(x^2+2)^{1/2))^2}

Soluzione

\int 1 + (x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}})^{2} d x

Soluzione

\frac{x ^{3}}{3} + x + C

Fasi della soluzione

\int 1 + (x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}})^{2} d x

(x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}})^{2} = x^{2} (x^{2} + 2)

= \int 1 + x^{2} (x^{2} + 2) d x

Applicare la sostituzione integrale

= \int 2^{\frac{1}{2}} 1 + 2 u^{2} (2 u^{2} + 2) d u

Porta fuori la costante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int 1 + 2 u^{2} (2 u^{2} + 2) d u

(2 u^{2} + 2) = 2 (u^{2} + 1)

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int 1 + 2 u^{2} \cdot 2 (u^{2} + 1) d u

Semplificare

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int 1 + 4 u^{2} (u^{2} + 1) d u

Espandi

4 u^{2} (u^{2} + 1) : 4 u^{4} + 4 u^{2}

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int 1 + 4 u^{4} + 4 u^{2} d u

Fattorizza

4 u^{4} + 4 u^{2} + 1 : (2 u^{2} + 1)^{2}

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int (2 u^{2} + 1)^{2} d u

(2 u^{2} + 1)^{2} = ((2 u^{2} + 1)),

supponendo

(2 u^{2} + 1) \geq 0

= 2^{\frac{1}{2}} \cdot \int 2 u^{2} + 1 d u

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2^{\frac{1}{2}} (\int 2 u^{2} d u + \int 1 d u)

\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3}

\int 1 d u = u

= 2^{\frac{1}{2}} (\frac{2 u ^{3}}{3} + u)

Sostituire indietro

u = \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}}

= 2^{\frac{1}{2}} \frac{2 ( \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} ) ^{3}}{3} + \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Semplificare

2^{\frac{1}{2}} \frac{2 ( \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} ) ^{3}}{3} + \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} : \frac{x ^{3}}{3} + x

= \frac{x ^{3}}{3} + x

Aggiungi una costante alla soluzione

= \frac{x ^{3}}{3} + x + C

Grafico

Esempi popolari

integral of (9z^2+14z-2)

\int (9 z^{2} + 14 z - 2) d z

integral of (3x^2)/(sqrt(x^2+4x+5))

\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 5} d x

integral of 1/(x^2)*(1/t-1)^{1/2}

\int \frac{1}{x ^{2}} \cdot (\frac{1}{t} - 1)^{\frac{1}{2}}

integral of 1/((sin(a)y)(cos(a)y))

\int \frac{1}{( sin ( a ) y ) ( cos ( a ) y )} d y

integral of (1/(3x+2))

\int (\frac{1}{3 x + 2}) d x