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integral of 1/((x+1/2)^2+3/4)

Lösung

\int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} (\frac{( x + \frac{1}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{4}} + 1)

= \int \frac{1}{\frac{3}{4} ( \frac{( x + \frac{1}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{4}} + 1 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{\frac{3}{4}} \cdot \int \frac{1}{\frac{( x + \frac{1}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{4}} + 1} d x

Vereinfache

= \frac{4}{3} \cdot \int \frac{1}{\frac{( x + \frac{1}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{4}} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{4}{3} \cdot \int \frac{3}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Ersetze zurück

= \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

\frac{4}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

\int 6^{3} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{2}} d x

in v erse l a pl a ce {\frac{1}{S ^{2} + 3 S}}

\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x

\frac{\partial}{\partial z} (2 x z)

\int \frac{e ^{\frac{1}{x}}}{x ^{2}} d x