integral of (y^{1/3})/((y^{4/3)+9)^2}

解

\int \frac{y ^{\frac{1}{3}}}{( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} d y

\frac{3 y ^{\frac{4}{3}}}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} + \frac{3 ( - 27 y ^{\frac{4}{3}} - 2 y ^{\frac{8}{3}} - 81 )}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2} ( 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 ) ( - 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 )} + C

解答ステップ

\int \frac{y ^{\frac{1}{3}}}{( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} d y

部分積分を適用する

= \frac{3 y ^{\frac{4}{3}}}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} - \int - \frac{2 y ^{\frac{5}{3}}}{( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{3}} d y

\int - \frac{2 y ^{\frac{5}{3}}}{( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{3}} d y = - \frac{3 ( - 27 y ^{\frac{4}{3}} - 2 y ^{\frac{8}{3}} - 81 )}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2} ( 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 ) ( - 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 )}

= \frac{3 y ^{\frac{4}{3}}}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} - - \frac{3 ( - 27 y ^{\frac{4}{3}} - 2 y ^{\frac{8}{3}} - 81 )}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2} ( 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 ) ( - 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 )}

簡素化

= \frac{3 y ^{\frac{4}{3}}}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} + \frac{3 ( - 27 y ^{\frac{4}{3}} - 2 y ^{\frac{8}{3}} - 81 )}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2} ( 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 ) ( - 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 )}

定数を解答に追加する

= \frac{3 y ^{\frac{4}{3}}}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2}} + \frac{3 ( - 27 y ^{\frac{4}{3}} - 2 y ^{\frac{8}{3}} - 81 )}{4 ( y ^{\frac{4}{3}} + 9 ) ^{2} ( 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 ) ( - 6 ^{\frac{1}{2}} 3 y + y ^{\frac{2}{3}} + 3 )} + C