integral of (sec^3(1/x)tan^2(1/x))/(x^2)

Lösung

\int \frac{sec ^{3} ( \frac{1}{x} ) tan ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

\frac{1}{8} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{8} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x}) - \frac{1}{4} sec^{4} (\frac{1}{x}) sin (\frac{1}{x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sec ^{3} ( \frac{1}{x} ) tan ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - sec^{3} (u) tan^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int sec^{3} (u) tan^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= - \int sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) : - sec^{3} (u) + sec^{5} (u)

= - \int - sec^{3} (u) + sec^{5} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int sec^{3} (u) d u + \int sec^{5} (u) d u)

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{5} (u) d u = \frac{sec ^{4} ( u ) sin ( u )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

= - (- (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣) + \frac{sec ^{4} ( u ) sin ( u )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣))

Setze in

u = \frac{1}{x}

ein

= - (- (\frac{1}{2} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{2} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x})) + \frac{sec ^{4} ( \frac{1}{x} ) sin ( \frac{1}{x} )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{2} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x})))

Vereinfache

- (- (\frac{1}{2} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{2} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x})) + \frac{sec ^{4} ( \frac{1}{x} ) sin ( \frac{1}{x} )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{2} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x}))) : \frac{1}{8} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{8} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x}) - \frac{1}{4} sec^{4} (\frac{1}{x}) sin (\frac{1}{x})

= \frac{1}{8} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{8} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x}) - \frac{1}{4} sec^{4} (\frac{1}{x}) sin (\frac{1}{x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} sec (\frac{1}{x}) tan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{8} ln tan (\frac{1}{x}) + sec (\frac{1}{x}) - \frac{1}{4} sec^{4} (\frac{1}{x}) sin (\frac{1}{x}) + C

\int (8 + x + 7 x^{2} + e^{x}) d x

\int 6 x (x + 2) d x

\int 5 x^{2} e^{2 x} d x

\int \frac{x ^{4} + 3 x}{x ^{2}} d x

\int sin (3 x) e^{3 x} d x