integral of (sec(θ)tan(θ))/(1-sec(θ))

Lösung

\int \frac{sec ( θ ) tan ( θ )}{1 - sec ( θ )} d θ

ln ∣ cos (θ) ∣ - ln ∣ cos (θ) - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sec ( θ ) tan ( θ )}{1 - sec ( θ )} d θ

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{tan ( θ )}{cos ( θ ) - 1} d θ

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

Setze in

u = cos (θ)

ein

= - (- ln ∣ cos (θ) ∣ + ln ∣ cos (θ) - 1 ∣)

Vereinfache

= ln ∣ cos (θ) ∣ - ln ∣ cos (θ) - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ cos (θ) ∣ - ln ∣ cos (θ) - 1 ∣ + C

\int \frac{1}{12 x - 4 x ^{2} - 5} d x

\int (x^{2} \cdot e^{2 x}) d x

\int c e^{- c x} d x

\int ln (u + 1) d u

\int 2^{x + 4} d x