integral of (y^2)/((16y^2+9)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( 16 y ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d y

\frac{1}{64} (- \frac{4 y}{( 9 + 16 y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} 4 y + (9 + 16 y^{2})^{\frac{1}{2}})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( 16 y ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{64 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{64} \cdot \int \frac{tan ^{2} ( u )}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{64} \cdot \int \frac{- 1 + sec ^{2} ( u )}{sec ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{- 1 + sec ^{2} ( u )}{sec ( u )} : - \frac{1}{sec ( u )} + sec (u)

= \frac{1}{64} \cdot \int - \frac{1}{sec ( u )} + sec (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{64} (- \int \frac{1}{sec ( u )} d u + \int sec (u) d u)

\int \frac{1}{sec ( u )} d u = sin (u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{1}{64} (- sin (u) + ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{4}{3} y)

ein

= \frac{1}{64} (- sin (arctan (\frac{4}{3} y)) + ln tan (arctan (\frac{4}{3} y)) + sec (arctan (\frac{4}{3} y)))

Vereinfache

\frac{1}{64} (- sin (arctan (\frac{4}{3} y)) + ln tan (arctan (\frac{4}{3} y)) + sec (arctan (\frac{4}{3} y))) : \frac{1}{64} (- \frac{4 y}{( 9 + 16 y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} 4 y + (9 + 16 y^{2})^{\frac{1}{2}}))

= \frac{1}{64} (- \frac{4 y}{( 9 + 16 y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} 4 y + (9 + 16 y^{2})^{\frac{1}{2}}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{64} (- \frac{4 y}{( 9 + 16 y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} 4 y + (9 + 16 y^{2})^{\frac{1}{2}})) + C

\int t \frac{1}{4} d t

\int \frac{6 x + 1}{4 x ^{2} + 4 x + 10} d x

\int \frac{3 x ^{2} - 1}{( x ^{3} - x ) ^{2}} d x

\int (2 x + 3 x^{2} + 1) d x

\int [\frac{4 x ^{2} - 8 x + 4}{2 x - 2}] d x