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integral of y^6cos(3y)

Lösung

\int y^{6} cos (3 y) d y

Lösung

\frac{1}{243} (81 y^{6} sin (3 y) - 2 (- 81 y^{5} cos (3 y) + 5 (27 y^{4} sin (3 y) - 4 (- 9 y^{3} cos (3 y) + 9 y^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y)))))) + C

Schritte zur Lösung

\int y^{6} cos (3 y) d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{6} cos ( u )}{2187} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2187} \cdot \int u^{6} cos (u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2187} (u^{6} sin (u) - \int 6 u^{5} sin (u) d u)

\int 6 u^{5} sin (u) d u = 6 (- u^{5} cos (u) + 5 (u^{4} sin (u) - 4 (- u^{3} cos (u) + 3 (u^{2} sin (u) - 2 (- u cos (u) + sin (u))))))

= \frac{1}{2187} (u^{6} sin (u) - 6 (- u^{5} cos (u) + 5 (u^{4} sin (u) - 4 (- u^{3} cos (u) + 3 (u^{2} sin (u) - 2 (- u cos (u) + sin (u)))))))

Setze in

u = 3 y

ein

= \frac{1}{2187} ((3 y)^{6} sin (3 y) - 6 (- (3 y)^{5} cos (3 y) + 5 ((3 y)^{4} sin (3 y) - 4 (- (3 y)^{3} cos (3 y) + 3 ((3 y)^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y)))))))

Vereinfache

\frac{1}{2187} ((3 y)^{6} sin (3 y) - 6 (- (3 y)^{5} cos (3 y) + 5 ((3 y)^{4} sin (3 y) - 4 (- (3 y)^{3} cos (3 y) + 3 ((3 y)^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y))))))) : \frac{1}{243} (81 y^{6} sin (3 y) - 2 (- 81 y^{5} cos (3 y) + 5 (27 y^{4} sin (3 y) - 4 (- 9 y^{3} cos (3 y) + 9 y^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y))))))

= \frac{1}{243} (81 y^{6} sin (3 y) - 2 (- 81 y^{5} cos (3 y) + 5 (27 y^{4} sin (3 y) - 4 (- 9 y^{3} cos (3 y) + 9 y^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y))))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{243} (81 y^{6} sin (3 y) - 2 (- 81 y^{5} cos (3 y) + 5 (27 y^{4} sin (3 y) - 4 (- 9 y^{3} cos (3 y) + 9 y^{2} sin (3 y) - 2 (- 3 y cos (3 y) + sin (3 y)))))) + C

Graph

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