integral of (x^2)/(sqrt(x^2+19))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 19} d x

19 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{19} x + \frac{1}{19} (19 + x^{2}) + \frac{1}{38} x 19 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 19} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 19 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 19 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 19 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 19 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 19 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 19 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{19} x)

ein

= 19 (- ln tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + sec (arctan (\frac{1}{19} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{19} x)) tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + sec (arctan (\frac{1}{19} x)))

Vereinfache

19 (- ln tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + sec (arctan (\frac{1}{19} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{19} x)) tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{19} x)) + sec (arctan (\frac{1}{19} x))) : 19 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{19} x + \frac{1}{19} (19 + x^{2}) + \frac{1}{38} x 19 + x^{2})

= 19 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{19} x + \frac{1}{19} (19 + x^{2}) + \frac{1}{38} x 19 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 19 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{19} x + \frac{1}{19} (19 + x^{2}) + \frac{1}{38} x 19 + x^{2}) + C

\int \frac{3 x ^{2}}{1 - x ^{3}} d x

\int 7 sec^{5} (x) d x

in t e g r a l e^{(x^{2})}

\int \frac{9 ^{x}}{3 ^{x + 2}} d x

\int \frac{e ^{a r c t a n (4 x)}}{1 + 16 x ^{2}} d x