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人気のある微分積分 >

積分記号 (x^3)/((1+x^2)^{1/2)}

解

積分記号

\frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

解

\frac{1}{3} (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u - 1}{2 u ^{\frac{1}{2}}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u ^{\frac{1}{2}}} d u

拡張

\frac{u - 1}{u ^{\frac{1}{2}}} : u^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{u ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{1}{2} \cdot \int u^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{u ^{\frac{1}{2}}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u - \int \frac{1}{u ^{\frac{1}{2}}} d u)

\int u^{\frac{1}{2}} d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

\int \frac{1}{u ^{\frac{1}{2}}} d u = 2 u^{\frac{1}{2}}

= \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}})

代用を戻す

u = 1 + x^{2}

= \frac{1}{2} (\frac{2}{3} (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}} - 2 (1 + x^{2})^{\frac{1}{2}})

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{2}{3} (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}} - 2 (1 + x^{2})^{\frac{1}{2}}) : \frac{1}{3} (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}}

= \frac{1}{3} (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + C

グラフ

人気の例

積分記号 5/((3+4x^2))

in t e g r a l \frac{5}{( 3 + 4 x ^{2} )}

積分記号 1/((x^{1/3)+1)}

in t e g r a l \frac{1}{( x ^{\frac{1}{3}} + 1 )}

積分記号 2xcos(x^2-5)

in t e g r a l 2 x cos (x^{2} - 5)

積分記号 arctan(x^2)

in t e g r a l arctan (x^{2})

積分記号 ((e^{-x})^2)/b

in t e g r a l \frac{( e ^{- x} ) ^{2}}{b}