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受欢迎的微积分 >

积分 sqrt(x^2-8x+7)

解答

积分

x^{2} - 8 x + 7

解答

9 (- ln (\frac{1}{3} x^{2} - 8 x + 7 + x - 4) + \frac{1}{18} (x - 4) x^{2} - 8 x + 7 + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + 7 + x - 4}{3})) + C

求解步骤

\int x^{2} - 8 x + 7 d x

对

x^{2} - 8 x + 7

配方:

(x - 4)^{2} - 9

= \int (x - 4)^{2} - 9 d x

使用换元积分法

= \int u^{2} - 9 d u

使用三角换元法

= \int 9 tan^{2} (v) sec (v) d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

使用三角恒等式改写

= 9 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

乘开

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 9 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 9 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代回

= 9 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))))

化简

9 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 4)))) : 9 (- ln (\frac{1}{3} x^{2} - 8 x + 7 + x - 4) + \frac{1}{18} (x - 4) x^{2} - 8 x + 7 + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + 7 + x - 4}{3}))

= 9 (- ln (\frac{1}{3} x^{2} - 8 x + 7 + x - 4) + \frac{1}{18} (x - 4) x^{2} - 8 x + 7 + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + 7 + x - 4}{3}))

解答补常数

= 9 (- ln (\frac{1}{3} x^{2} - 8 x + 7 + x - 4) + \frac{1}{18} (x - 4) x^{2} - 8 x + 7 + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + 7 + x - 4}{3})) + C

作图

流行的例子

积分 3/((2(x)^2-x))

in t e g r a l \frac{3}{( 2 ( x ) ^{2} - x )}

积分 (sin^4(x))/(cos^3(x))

in t e g r a l \frac{sin ^{4} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

in t e g r a l - 7 x

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in t e g r a l \frac{( 3 x )}{( 1 + x - 2 x ^{2} )}

积分 x/((x^2-x+10))

in t e g r a l \frac{x}{( x ^{2} - x + 10 )}