integral from 0 to x of 1/θ e^{(-x)/θ}

Lösung

\int_{0}^{x} \frac{1}{θ} e^{\frac{- x}{θ}} d x

- e^{- \frac{x}{θ}} + 1

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{x} \frac{1}{θ} e^{\frac{- x}{θ}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{θ} \cdot \int_{0}^{x} e^{\frac{- x}{θ}} d x

Vereinfache

= \frac{1}{θ} \cdot \int_{0}^{x} e^{- \frac{x}{θ}} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{θ} \cdot \int_{0}^{- \frac{x}{θ}} - θ e^{u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{θ} (- θ \cdot \int_{0}^{- \frac{x}{θ}} e^{u} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{θ} (- θ [e^{u}]_{0}^{- \frac{x}{θ}})

Vereinfache

\frac{1}{θ} (- θ [e^{u}]_{0}^{- \frac{x}{θ}}) : - [e^{u}]_{0}^{- \frac{x}{θ}}

= - [e^{u}]_{0}^{- \frac{x}{θ}}

Berechne die Grenzen:

e^{- \frac{x}{θ}} - 1

= - (e^{- \frac{x}{θ}} - 1)

Vereinfache

= - e^{- \frac{x}{θ}} + 1

\int_{1}^{2} \frac{x}{2 - x ^{2}} d x

\int_{0}^{1} (7 x^{2} - 4 x + 9) d x

\int_{0}^{1} \frac{1}{e ^{x^{2}}} d x

\int_{1}^{3} - \frac{3}{x ^{2}} d x

\int_{- 3}^{2} 2 x^{3} - 4 x d x