integral from 0 to x of 40e^{-5x-3y}

解

\int_{0}^{x} 40 e^{- 5 x - 3 y} d y

- \frac{40}{3} e^{- 5 x} (e^{- 3 x} - 1)

解答ステップ

\int_{0}^{x} 40 e^{- 5 x - 3 y} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 40 \cdot \int_{0}^{x} e^{- 3 y - 5 x} d y

e^{- 3 y - 5 x} = e^{- 5 x} e^{- 3 y}

= 40 \cdot \int_{0}^{x} e^{- 5 x} e^{- 3 y} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 40 e^{- 5 x} \cdot \int_{0}^{x} e^{- 3 y} d y

u置換積分法を適用する

= 40 e^{- 5 x} \cdot \int_{0}^{- 3 x} - \frac{1}{3} e^{u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 40 e^{- 5 x} (- \frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{- 3 x} e^{u} d u)

共通積分を使用する:

\int e^{u} d u = e^{u}

= 40 e^{- 5 x} (- \frac{1}{3} [e^{u}]_{0}^{- 3 x})

簡素化

40 e^{- 5 x} (- \frac{1}{3} [e^{u}]_{0}^{- 3 x}) : - \frac{40}{3} e^{- 5 x} [e^{u}]_{0}^{- 3 x}

= - \frac{40}{3} e^{- 5 x} [e^{u}]_{0}^{- 3 x}

限度を計算する:

e^{- 3 x} - 1

= - \frac{40}{3} e^{- 5 x} (e^{- 3 x} - 1)