integral from 0 to pi of xsin(x)cos(nx)

解

\int_{0}^{π} x sin (x) cos (n x) d x

\frac{π ( - 1 ) ^{- n}}{( n + 1 ) ( - n + 1 )}

解答ステップ

\int_{0}^{π} x sin (x) cos (n x) d x

部分積分を適用する

= [\frac{1}{2 ( n + 1 ) ( - n + 1 )} (x (- cos (x + n x) (- n + 1) - cos (x - n x) (n + 1)) - 2 \cdot \int \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) d x (n + 1) (- n + 1))]_{0}^{π}

\int \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x))

= [\frac{1}{2 ( n + 1 ) ( - n + 1 )} (x (- cos (x + n x) (- n + 1) - cos (x - n x) (n + 1)) - 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) (n + 1) (- n + 1))]_{0}^{π}

2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) (n + 1) (- n + 1) = (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) (n + 1) (- n + 1)

= [\frac{1}{2 ( n + 1 ) ( - n + 1 )} (x (- cos (x + n x) (- n + 1) - cos (x - n x) (n + 1)) - (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) (n + 1) (- n + 1))]_{0}^{π}

限度を計算する:

\frac{π ( - 1 ) ^{- n}}{( n + 1 ) ( - n + 1 )}

= \frac{π ( - 1 ) ^{- n}}{( n + 1 ) ( - n + 1 )}