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人気のある微分積分 >

integral of 1/(y(y-2))

解

\int \frac{1}{y ( y - 2 )} d y

解

- \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{1}{y ( y - 2 )} d y

平方完成する

y (y - 2) : (y - 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} - 1} d y

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因数

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

代用を戻す

u = y - 1

= - (\frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2})

簡素化

- (\frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of 2cot^2(θ)-3tan^2(θ)

\int 2 cot^{2} (θ) - 3 tan^{2} (θ) d θ

integral of \sqrt[3]{x+2}

\int 3 x + 2 d x

integral of 4/(9x^2+1)

\int \frac{4}{9 x ^{2} + 1} d x

integral of (3x+1)/(x^2(x^2-1))

\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} ( x ^{2} - 1 )} d x

integral of ((e^x-3x^2))/5

\int \frac{( e ^{x} - 3 x ^{2} )}{5} d x