integral of (cos^7(y)sin^2(y))

Lösung

\int (cos^{7} (y) sin^{2} (y)) d y

\frac{sin ^{3} ( y )}{3} - \frac{3 sin ^{5} ( y )}{5} + \frac{3 sin ^{7} ( y )}{7} - \frac{sin ^{9} ( y )}{9} + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{7} (y) sin^{2} (y) d y

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - sin^{2} (y))^{3} cos (y) sin^{2} (y) d y

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} (1 - u^{2})^{3} d u

Multipliziere aus

u^{2} (1 - u^{2})^{3} : u^{2} - 3 u^{4} + 3 u^{6} - u^{8}

= \int u^{2} - 3 u^{4} + 3 u^{6} - u^{8} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{2} d u - \int 3 u^{4} d u + \int 3 u^{6} d u - \int u^{8} d u

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 3 u^{4} d u = \frac{3 u ^{5}}{5}

\int 3 u^{6} d u = \frac{3 u ^{7}}{7}

\int u^{8} d u = \frac{u ^{9}}{9}

= \frac{u ^{3}}{3} - \frac{3 u ^{5}}{5} + \frac{3 u ^{7}}{7} - \frac{u ^{9}}{9}

Setze in

u = sin (y)

ein

= \frac{sin ^{3} ( y )}{3} - \frac{3 sin ^{5} ( y )}{5} + \frac{3 sin ^{7} ( y )}{7} - \frac{sin ^{9} ( y )}{9}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{sin ^{3} ( y )}{3} - \frac{3 sin ^{5} ( y )}{5} + \frac{3 sin ^{7} ( y )}{7} - \frac{sin ^{9} ( y )}{9} + C

\int \frac{1}{1 - e ^{- 3 x}} d x

\int \frac{1 + t}{1 + t} d t

\int - 5 \frac{x ^{4}}{1 - x ^{5}} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - x + 20} d x

\int cos (k t) d t