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Beliebt Rechnen >

integral of 1/(1-e^{-3x)}

Lösung

\int \frac{1}{1 - e ^{- 3 x}} d x

Lösung

\frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 - e ^{- 3 x}} d x

Faktorisiere

1 - e^{- 3 x} : - (- 1 + e^{- 3 x})

= \int \frac{1}{- ( - 1 + e ^{- 3 x} )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- 1 + e ^{- 3 x}} d x

Wende U-Substitution an

= - \int - \frac{1}{3 u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u)

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u + 1 )} : \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}

= - (- \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \frac{1}{3} (\int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u + 1} d u))

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

= - (- \frac{1}{3} (ln ∣ u ∣ - ln ∣ u + 1 ∣))

Setze in

u = - 1 + e^{- 3 x}

ein

= - (- \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} - ln - 1 + e^{- 3 x} + 1))

Vereinfache

- (- \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} - ln - 1 + e^{- 3 x} + 1)) : \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x)

= \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x) + C

Graph

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