integral of (2x)/((2x+1))

Lösung

\int \frac{2 x}{( 2 x + 1 )} d x

x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ 2 x + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{2 x + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{2 x + 1} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u - 1}{4 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{u - 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 1}{u} : 1 - \frac{1}{u}

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int 1 - \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} (\int 1 d u - \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= 2 \cdot \frac{1}{4} (u - ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 2 x + 1

ein

= 2 \cdot \frac{1}{4} (2 x + 1 - ln ∣ 2 x + 1 ∣)

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{4} (2 x + 1 - ln ∣ 2 x + 1 ∣) : x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ 2 x + 1 ∣

= x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ 2 x + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ 2 x + 1 ∣ + C

\int 4 x 2 x + 1 d x

\int \frac{x + 3}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} d x

\int (ln (2)) d x

\int \frac{3}{x ^{2} - 3} d x

\int \frac{x}{y} + ln (z) d y