integral of e^{x-x^2}

解

\int e^{x - x^{2}} d x

4 e \frac{π}{2} erf (x - \frac{1}{2}) + C

解答ステップ

\int e^{x - x^{2}} d x

平方完成する

x - x^{2} : - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}

= \int e^{- (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}} d x

u置換積分法を適用する

= \int e^{- u^{2} + \frac{1}{4}} d u

簡素化

e^{- u^{2} + \frac{1}{4}} : e^{- u^{2}} 4 e

= \int e^{- u^{2}} 4 e d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 e \cdot \int e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 4 e \frac{π}{2} erf (u)

代用を戻す

u = x - \frac{1}{2}

= 4 e \frac{π}{2} erf (x - \frac{1}{2})

定数を解答に追加する

= 4 e \frac{π}{2} erf (x - \frac{1}{2}) + C